Здравствуйте!
Чтобы понять решение предложенной задачи, рассмотрим похожую задачу:
цитата: |
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение (3m + 4n > 77) \/ (m < A) \/ (n < A) тождественно истинно при любых целых неотрицательных m и n? |
|
Решение:
Если (3m + 4n > 77) = True, то от А ничего не зависит, А - любое. Но так будет не всегда.
Поэтому рассмотрим случай (3m + 4n > 77) = False, то есть (3m + 4n <= 77) = True.
Поскольку ((m < A) \/ (n < A)) должно быть равно True, минимальное А будет достигнуто при m = n.
Из (3m + 4n <= 77) при m = n получаем m = n = 11.
((m < A) \/ (n < A)) запишется так: ((11 < A) \/ (11 < A)) --> Amin = 12.
Ответ: 12.
Далее.
Если исходное выражение будет одним из представленных ниже
цитата: |
(3m + 4n > 77) \/ (m <= A) \/ (n < A) (3m + 4n > 77) \/ (m < A) \/ (n <= A) (3m + 4n > 77) \/ (m <= A) \/ (n <= A), |
|
то, очевидно, что ((11 <= A) \/ (11 < A)) --> Amin = 11.
Далее.
Рассмотрим теперь исходную задачу с выражением
цитата: |
(3m + 4n > 66) \/ (m <= A) \/ (n < A). |
|
Отличие в том, что 66 не делится нацело на 7 (66 / 7 = 9.42...)
Поскольку 7m <= 66, то выбираем m = n = 9.
Если бы исходное выражение было бы (3m + 4n > 66) \/ (m
< A) \/ (n
< A),
то (9 < A) \/ (9 < A) --> Amin = 10. Это правильно.
Почему же при (3m + 4n > 66) \/ (m <= A) \/ (n < A) правильный ответ тоже 10 ?
Мы рассматриваем (3m + 4n <= 66) = True и ((m <= A) \/ (n < A)) = True.
Из-за того, что 66 не делится нацело на 7 и (m <= A), в этом случае есть еще один вариант: m = 10, n = 9. (3m + 4n <= 66) --> (3*10 + 4*9 <= 66) ---> (66 <= 66) = True.
Поэтому (m <= A) \/ (n < A) ---> (10 <= A) \/ (9 < A) --> Amin = 10.
Ответ: 10.
Замечание: При исходном выражении (3m + 4n > 66) \/ (m < A) \/ (n <= A) ответ был бы 9.
Действительно, мы рассматриваем (3m + 4n <= 66) = True и ((m < A) \/ (n <= A)) = True.
Если n = 10, m = 9, то (3m + 4n <= 66) --> (3*9 + 4*10 <= 66) ---> (67<=66) = False.
Поэтому в этом случае n = 9, m = 9 --> (m < A) \/ (n <= A) ---> (9 < A) \/ (9 <= A) --> Amin = 9.
Решим другую задачу: цитата: |
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение (2m + 3n > 43) \/ (m < A) \/ (n ≤ A) тождественно истинно при любых целых неотрицательных m и n? |
|
Решение:
Если (2m + 3n > 43) = True, то от А ничего не зависит, А - любое. Но так будет не всегда.
Поэтому рассмотрим случай (2m + 3n > 43) = False, то есть (2m + 3n <= 43) = True.
Поскольку ((m < A) \/ (n <= A)) должно быть равно True, минимальное А
может быть достигнуто при m = n.
Из (2m + 3n <= 43) при m = n получаем m = n = 8.
Но поскольку 43 не делится на 5 нацело и (n <= A), то нужно проверить n = 9, m = 8.
Мы рассматриваем (2m + 3n <= 43) = True и ((m < A) \/ (n <= A)) = True.
Если n = 9, m = 8, то (2m + 3n <= 43) --> (2*8 + 3*9 <= 43) ---> (43<=43) = True.
Тогда ((m < A) \/ (n <= A)) --> ((8 < A) \/ (9 <= A)) --> Amin = 9.
Ответ: 9.