Форум: «ЕГЭ по информатике»

Здравствуйте!

Задачи 18.337 - 18.341 можно решать устно.
Сначала будет длинное обоснование метода, а затем очень простой устный алгоритм решения.

Рассмотрим задачу 18.340.

цитата:

Укажите наименьшее целое значение А, при котором выражение
(2y + 5x <> 17) ∨ (A > 2x + 3y) ∧ (A > 4y + x + 1)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Решение:

1) Если выражение (2y + 5x <> 17) истинно, то и всё выражение
(2y + 5x <> 17) ∨ (A > 2x + 3y) ∧ (A > 4y + x + 1) истинно при любом А.
Это хорошо, но это частный случай. Ведь при любых целых положительных значениях x и y
может быть и (2y + 5x = 17).
Поэтому рассмотрим случай, когда (2y + 5x <> 17) ложно, то есть истинно выражение (2y + 5x = 17).

2) В этом случае (A > 2x + 3y) ∧ (A > 4y + x + 1) должно быть истинно.
(A > 2x + 3y) ∧ (A > 4y + x + 1) истинно, когда истинно каждое выражение в скобках.

3) Обозначим F1(x,y) = 2x + 3y и F2(x,y) = 4y + x + 1.
Тогда должно быть (A > F1(x,y)) ∧ (A > F2(x,y)) = 1 при любых целых положительных значениях x и y.
(A > F1(x,y)) при любых целых положительных значениях x и y, если A > max(F1(x,y)).
(A > F2(x,y)) при любых целых положительных значениях x и y, если A > max(F2(x,y)).

(A > F1(x,y)) ∧ (A > F2(x,y)) = 1, если A > max(max(F1(x,y)), max(F2(x,y))),
а Amin = max(max(F1(x,y)), max(F2(x,y))) + 1 при (2y + 5x = 17).

4) Важно! Так как F1(x,y) и F2(x,y) являются возрастающими от x и y линейными функциями,
то максимальные значения они получают на концах рассматриваемых интервалов x и y
(для функций вида F1(x,y) = 2x - 3y и F2(x,y) = 4y - x + 1 алгоритм неприменим).

Важно и то, что функция y(x), соответствующая выражению 2y + 5x = 17, является убывающей от x
(для случая 2y - 5x <> 17 или 5x - 2y <> 17 алгоритм неприменим).

5) Поскольку в данной задаче рассматриваются целые положительные значения x и y, то
возьмём x=1 (если бы рассматривались целые неотрицательные числа, то взяли бы x = 0).

При x = 1 из (2y + 5x = 17) получаем y = 6.
F1 = 2*1 + 3* 6 = 20.
F2 = 4*6 + 1 + 1 = 26.
Amin = max(20, 26) + 1 = 26 + 1 = 27.

Проверим y = 1. Из (2y + 5x = 17) получаем x = 3.
F1 = 2*3 + 3* 1 = 9.
F2 = 4*1 + 3 + 1 = 8.

Видно, что в предыдущем случае значение максимума больше.
Поэтому Amin = 27.

Ответ: 27.

А теперь коротко решим задачу 18.341.

цитата:

Укажите наименьшее целое значение А, при котором выражение
(6x + 4y <> 34) ∨ (A > 5x + 3y) ∧ (A > 4y + 15x – 35)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

1) Из (6x + 4y = 34) при x = 1 --> y = 7.
5x + 3y = 5*1 + 3* 7 = 26.
4y + 15x – 35 = 4 * 7 + 15 * 1 - 35 = 8

2) Из (6x + 4y = 34) при y = 1 --> x = 5.
5x + 3y = 5*5 + 3* 1 = 28.
4y + 15x – 35 = 4 * 1 + 15 * 5 - 35 = 44

3) Amin = max(28, 44) + 1 = 44 + 1 = 45.

Ответ: 45.

Решим коротко задачу 18.338.

цитата:

Укажите наименьшее целое значение А, при котором выражение
(3y + x <> 22) ∨ (A > 5x – 8) ∧ (A > 2y + 3)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

1) Из (3y + x <> 22) при x = 1 --> y = 7.
5x – 8= 5*1 - 8 = - 3.
2y + 3 = 2 * 7 + 3 = 17

2) Из (3y + x <> 22) при y = 1 --> x = 19.
5x – 8= 5*19 - 8 = 87.
2y + 3 = 2 * 1 + 3 = 5.

3) Amin = max(87, 5) + 1 = 87 + 1 = 88.

Ответ: 88.