Отправлено: 28.05.18 20:30. Заголовок: (99<>y+2x)+(A<x)+(A<y)=1

Кто может подсказать решение.? (99<>y+2x)+(A<x)+(A<y)=1 Наибольшее А

 Отправлено: 29.05.18 01:15. Заголовок: Ответ

Здравствуйте!

Будем считать, что полное условие такое:

"Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(99<>y+2x)+(A<x)+(A<y)
истинно для любых целых положительных значений x и y".

Решаем:

Если (99<>y+2x)=1, то от А ничего не зависит, А - любое.

Поэтому рассмотрим случай (99<>y+2x)=0, то есть (99=y+2x)=1.

Поскольку (A<x)+(A<y) должно быть равно 1, максимальное А будет достигнуто при x=y.
Из формулы 99=y+2x при y=x получаем x=33, y=33 (условия x>=1 и y>=1 учтены).

Тогда Аmax=32 (учли, что (A<x), (A<y)).

Ответ: 32

 Отправлено: 29.05.18 08:55. Заголовок: polyakovss пишет: По..

polyakovss пишет:

цитата:

Поскольку (A<x)+(A<y) должно быть равно 1, максимальное А будет достигнуто при x=y.

Как вы это обосновываете? Не интуитивно, а математически.

 Отправлено: 29.05.18 18:27. Заголовок: Re

По-моему смысл в этом:-
1. Рассмотрим отрезок y+2x = 99 в первом квадранте
Точка (33,33) принадлежит отрезку.
Если х =< 33 , то y >= 33
Если у =< 33 , то х >= 33
Следовательно, для всех (х,у) принадлежащих отрезку :-
( 33=<x ) v ( 33=< y ) = 1
Для (х,у) в первом квадранте А = 32
------------------------------------
Задача 1 ( С.С.Поляков)
------------------------------------
2.Рассмотрим отрезок L={(x,y): 3x+5y=54} в первом квадранте
Точка (8,6) принадлежит отрезку.
Для всех (х,у) из L :-
Если 2x+3 >= 19 тo 4y-5 =< 19
Если 4y-5 >= 19 то 2х+3 =< 19
Следовательно, для всех (х,у) принадлежащих отрезку L :-
(19 =< 2x+3)v(19 =< 4y-5) = 1
Для (х,у) в первом квадранте А=18

 Отправлено: 29.05.18 07:24. Заголовок: Добрый день. Подскаж..

Добрый день. Подскажите, пожалуйста, учебную литературу (теория, практика) по этой теме. Хочется сложить полную картину, а не только знать как решать конкретное. Желательно для школьников. Спасибо

 Отправлено: 29.05.18 11:43. Заголовок: Поляков пишет: Как ..

Поляков пишет:

цитата:

Как вы это обосновываете? Не интуитивно, а математически.

Так как ложь в скобках (A<x)+(A<y) наступает при условии (A>=x) и (A>=y), то рассмотрим например скобку (A>=x).
Пусть х будет любое число, например 5, тогда ложь в скобке (A<x) будет при А от 5; 6; и т.д. Нам надо учесть все Х, поэтому так как минимальное число х = 5, то критичная ситуация для этой скобки будет при А=х. Для второй скобки критично будет при А=у, отсюда х=у.
Для таких типов примеров, которые были на этом егэ - это проходит. Частный ли случай это решение или нет, может показать только другое условие задачи.

 Отправлено: 29.05.18 14:15. Заголовок: nikson пишет: критич..

nikson пишет:

цитата:

критичная ситуация для этой скобки будет при А=х. Для второй скобки критично будет при А=у, отсюда х=у.

Почему отсюда следует x = y?

 Отправлено: 29.05.18 15:30. Заголовок: Ответ

Здравствуйте, Константин Юрьевич!

Над математическим обоснованием решения ещё подумаю. У Вас это всегда получается лучше.
Но метод вполне работоспособный. Вот несколько придуманных мною задач с решением по предложенному методу:

Задача 1.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(54<>5y+3x)+(A<2x+3)+(A<4y-5)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Решение:

((A<2x+3)+(A<4y-5)=1) --> (2x+3=4y-5) --> x=2y-4
((54=5y+3x)=1) --> ((54=5y+3x) и x=2y-4) --> y=6 и x=8
(A<2x+3), (A<4y-5), y=6 и x=8 --> Amax<19
Аmax=18

Ответ: 18

Задача 2.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(5x+2y<>51)+(A<x)+(A<3y)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Решение:

(A<x)+(A<3y)=1 --> x=3y
(5x+2y=51, x=3y) --> y=3, x=9
(A<x),(A<3y) --> Аmax<9 --> Amax=8

Ответ: 8

Задача 3.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(4x+2y<>100)+(A<9x)+(A<3y)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Решение:

(A<9x)+(A<3y)=1 --> 9x=3y --> y=3x
(4x+2y=100), y=3x --> x=10, y=30
(A<9x), (A<3y), x=10, y=30 --> Amax<90 --> Amax=89

Ответ: 89

Задача 4.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(y+2x<>77)+(A<5x)+(A<y)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Ответ: 54

Задача 5.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(7x+y<>498)+(A<x+18)+(A<6y-3)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Ответ: 86

 Отправлено: 29.05.18 19:13. Заголовок: polyakovss пишет: Н..

polyakovss пишет:

цитата:

Над математическим обоснованием решения ещё подумаю.

Мне вот какая пришла мысль:
Выражение (y+2x<>77) ложно когда (y+2x=77), то есть все ложные точки лежат на этой прямой. Любая точка этой прямой имеет координаты х и у. Перемещаясь по этой прямой координаты будут меняться. В какой то момент х больше у, а в какой то наоборот. И только в одной точке х = у. Максимум для А будет при х = у. Это даже видно из разбора Полякова К.Ю. Он принял для решения А=50, а так как А для х и для у приняты 50, то на рисунке появился квадрат, что еще раз подтверждает, что х = у. Еще раз повторюсь - возможно это частный случай, но все задачи егэ, о которых вспомнили дети, этим способом решаются без проблем.

 Отправлено: 29.05.18 22:26. Заголовок: nikson пишет: но все..

nikson пишет:

цитата:

но все задачи егэ, о которых вспомнили дети, этим способом решаются без проблем.

Тут ведь другой вопрос. Найти алгоритм решения и автоматически (=бездумно) его применять - это один уровень, это натаскивание. Понимать, почему алгоритм такой - другой уровень.
Через плоскость все сразу видно. Да, все эти задачи так решаются, потому что прямоугольник (в частных случаях - квадрат) при увеличении касается прямой именно углом.

 Отправлено: 30.05.18 06:29. Заголовок: polyakovss пишет: Но..

polyakovss пишет:

цитата:

Но метод вполне работоспособный.

Вот контрпример: найдите максимальное натуральное A, при котором для всех натуральных x и y выполняется условие
(y - x <> 10) or (A < x) or (A < y).

 Отправлено: 30.05.18 10:27. Заголовок: Re ( x-y<> 10 )

Отрезка нет , в первом квадранте полупрямая. "Up side down" описанный в первом Re не будет работать (y=x не пересечет y= x+10 т.к. они параллельны). Во всех, приведенных примерах от первого квадранта прямые отсекают прямоугольный треугольник.
Процедура "Up side down" :-
Если для (х,у) на отрезке если х =< А, то у >= А и vice versa,
при этом взять А1 больше А также невозможно.

 Отправлено: 30.05.18 00:24. Заголовок: Мнение

Здравствуйте, Константин Юрьевич!


Абсолютно с Вами согласен, что бездумно применять алгоритм решения - это натаскивание, это неприемлемо.

Но ведь бездумно найти алгоритм решения тоже невозможно. И если алгоритм работает, значит, в нем содержится часть истины, выделить которую и призвана теория. Есть над чем думать.

Если же ученик привык исходить только из устоявшейся теории, запомнив, что откуда следует, то это также будет элементом натаскивания, а так чаще всего и происходит из-за недостатка учебного времени.

Да и способность человека решить успешно поставленную перед ним задачу, даже если он не знает теоретического обоснования ее решения, это - вполне востребованная способность.

Но Вы правы: лучше понимать, почему алгоритм такой, применять его осмысленно. К этому и стремимся.

 Отправлено: 30.05.18 16:25. Заголовок: Ответ

Здравствуйте, Константин Юрьевич!

Ваш контрпример увидел. Сегодня отвечу обязательно, но попозже.

 Отправлено: 30.05.18 22:14. Заголовок: Ответ на контрпример

Здравствуйте, Константин Юрьевич!

Отвечаю на Ваш контрпример.

Законы, методы решения имеют область применимости. По умолчанию, при обсуждении здесь рассматриваемого метода решения областью его применения являлись те задачи, которые обсуждались.
В этих задачах убывающая линейная функция ограничивала вместе с условиями x>=1 и y>=1 в 1 четверти прямоугольный треугольник.
Моей недоработкой при обсуждении являлось то, что я специально это не оговаривал, считая, что это очевидно. Но я нигде и не писал, что метод универсален для всех видов подобных задач.


Более того, описанный метод будет правильно работать только в том случае, если при его применении и для X, и для Y будут получаться целые значения. Иначе нужна небольшая модификация.


В связи с этим Вам, Константин Юрьевич, я тоже предлагаю контрпример. В Вашей задаче № 310 абсолютно правильный ответ: 14. Поясните, пожалуйста, как этот ответ получить Вашим методом без его дополнительной доработки.


В контрпримере, предложенном мне, возрастающая линейная функция никаких треугольников не ограничивает.
Поэтому такие задачи решаются по-другому, и думаю, что могу обосновать этот метод решения.

Вот контрпример: найдите максимальное натуральное A, при котором для всех натуральных x и y выполняется условие (y - x <> 10) or (A < x) or (A < y).

Алгоритм решения:

Случай 1.

При условиях (A < x) и (A < y) в качестве Amax нужно выбрать (y-1), где y - значение полученное при подстановке x=1 в инвертированную формулу с неравенством, если при x=0 по этой формуле получается y>=0.
(Это максимальное из x и y для первой точки при x>=1 и y>=1).

В контрпримере как раз так: при x=0 из (y - x = 10) --> y=10.
Подставляем в (y - x = 10) x=1 --> y=11--> Amax=11-1=10.
Ответ:10.

Обоснование для этого случая:

Аmax на 1 меньше минимального значения Y в первой точке, принадлежащей прямой для возрастающей функции.
При движении вдоль оси x до точки, принадлежащей прямой для возрастающей функции и после этой очки логические значения (A<x) и (A<y) чередуются, так что их логическая сумма будут в этом случае равна 1. В самой же точке, принадлежащей прямой, если это первая точка, все слагаемые формулы равны TRUE. Если же в качастве Amax взять y-1 для второй точки прямой возрастающей функции, то все слагаемые в формуле для предыдущей точки, принадлежащей прямой возрастающей функции будут равны FALSE. Если Amax взять как y-1 для третьей точки прямой, то все исходное выражение будет ложно в двух предудущих точках прямой возрастающей функции, то есть не для всех натуральных x и y формула будет истинна.

Случай 2.

При условиях (A < x) и (A < y) в качестве Amax нужно выбрать (x-1), где x - значение полученное при подстановке y=1 в инвертированню формулу с неравенством, если при x=0 по этой формуле получается y<0.
(Это максимальное из x и y для первой точки при x>=1 и y>=1).


Рассмотрим задачу:

Задача 1.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(y – 2x + 29<>0) ∨ (A < x) ∨ (A < y)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

При x=0 из (y – 2x + 29=0) --> y<0. Поэтому в (y – 2x + 29=0) подставляем y=1 --> x=15 --> Amax=14.

Ответ: 14.

Далее. Пусть задача такая:

Задача 2.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(y – 2x + 29<>0) ∨ (A < 3x) ∨ (A < 15y+8)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Только что получили y=1 --> x=15. Amax= (max(3x,15y+8)-1) при подстановке y=1, x=15. Amax=max(45,23)-1=44.

Ответ: 44.

Задача 3.

Если (y – 2x + 29<>0) ∨ (A < 2x) ∨ (A < 45y+8) =1 , то Amax=max(30,53)-1=52.

Ответ: 52.

Задача 4.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(3y – 4x <> 29) ∨ (A < 2x+8) ∨ (A < 2y-2)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Решение:
x=1 --> y=11 -->2y-2=20 --> Amax=19.

Ответ: 19.

Задача 5.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(3y – 4x <> -81) ∨ (A < y*y*y+17) ∨ (A < 3x)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Решение:
y=1 --> x=21 --> Amax= 63-1=62.

Ответ: 62.

Задача 6.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(3y – 4x <> 29) ∨ (A < 2*x*x+5) ∨ (A < y*y-1)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Решение:
x=1 --> y=11 --> Amax= 120-1=119.

Ответ: 119.

Задача 7.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(21y – 5x <> -99) ∨ (A < 2x-7) ∨ (A < y*y+16)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Ответ: 40.

Задача 8.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(17y – 13x <> 480) ∨ (A < (x+5)*(x+5)) ∨ (A < 19y)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Ответ: 550.

Задача 9.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(y – x*x <> -80) ∨ (A < 13x-14) ∨ (A < y*y+15)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Ответ: 102.

Задача 10.

Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение
(y – x*x <> 80) ∨ (A < 13x-14) ∨ (A < y*y+15)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

Ответ: 6575.


P.S. Благодарю за публикацию моих задач.

 Отправлено: 31.05.18 11:12. Заголовок: polyakovss пишет: В ..

polyakovss пишет:

цитата:

В Вашей задаче № 310 абсолютно правильный ответ: 14. Поясните, пожалуйста, как этот ответ получить Вашим методом без его дополнительной доработки.

Сергей Сергеевич, там опечатка. Должно быть (3*y < A). Конечно, я выбирал исходные данные так, чтобы уравнение решилось в целых числах.
Мне кажется, что нужно разделить два вопроса:
1) как найти решение конкретных задач
2) как объяснять школьникам принцип решения
Идея заучивать формулы для каждого случая мне не нравится. Если другого варианта нет, то, конечно, можно использовать.

 Отправлено: 31.05.18 11:25. Заголовок: Ответ

Здравствуйте, Константин Юрьевич!

Абсолютно в Вами согласен.

 Отправлено: 06.11.18 18:39. Заголовок: Почему нужно брать х..

Почему нужно брать х и y >=1? По условиям задачи сказано, что они положительные (именно не НАТУРАЛЬНЫЕ!!!). Но ведь 0 - тоже положительное число! В разных задачах и в разных источниках ноль - то входит в число рассматриваемых точек, то не входит. На ответе это сказывается сильно. Как догадаться, что имел в виду автор?

 Отправлено: 06.11.18 18:45. Заголовок: velmi пишет: Но ведь..

velmi пишет:

цитата:

Но ведь 0 - тоже положительное число!

Приведите, пожалуйста, ссылку на источник информации.

 Отправлено: 26.11.18 12:11. Заголовок: вопрос

Константин Юрьевич, добрый день!
Помогите разобраться, пожалуйста, с задачей:
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
(3x + 4y ≠ 70) \/ (A > x) \/ (A > y)
тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Решаю:
3х + 4у = 70 и x = у -> x = 10
A > x -> A = 11
Понимаю, что правильно, но проверяю:
A > max (maxx, maxy), при (x > 0) and (y = (70 - 3x) / 4) and (y > 0) -> ymax при х = 1 -> ymax = 17, xmax при y = 1 -> xmax = 22
A > max(17, 22) -> Amin = 23
Где ошиблась?

 Отправлено: 26.11.18 20:16. Заголовок: Ефремова пишет: A &#..

Ефремова пишет:

цитата:

A > max (maxx, maxy)

Это достаточное условие, но не необходимое. Не нужно его проверять.

 Отправлено: 27.11.18 06:46. Заголовок: Поняла. Большое спас..

Поняла. Большое спасибо!