Отправлено: 17.06.19 15:53. Заголовок: N Задание 10 N 117 (К. Поляков)

117) Петя составляет шестибуквенные слова перестановкой букв слова КАБАЛА. При этом он избегает слов с двумя подряд одинаковыми буквами. Сколько всего различных слов может составить Петя?
Мое решение:
1) если не учитывать, что в слове есть одинаковые буквы, общее количество перестановок 6 букв равно 6! = 720
2) так как перестановка одинаковых букв не даёт нового слова, 3 одинаковых буквы уменьшают количество уникальных слов в 3 раза; оно равно 720/3 = 240
3) теперь нужно вычесть количество слов, где встречаются ААА; обозначим Y=ААА, таким образом, нужно найти количество слов из 4-х разных «букв» (К, Б, Л, Y), это количество равно 4! = 24
4) теперь подсчитаем слова, в которых есть X=АА, получаем набор из 5 «букв» (А, К, Б, Л, Х), количество слов равно 5! = 120
5) количество нужных нам слов равно 240 – 24 – 120 = 96.
6) В Ответе: 24.
Где я ошибаюсь?

 Отправлено: 17.06.19 16:15. Заголовок: N Задание 10 N 117 (К. Поляков)

Рассуждения 3 и 4 можно упростить:
3-4) подсчитаем слова, в которых есть X=АА, получаем набор из 5 «букв» (А, К, Б, Л, Х), количество слов равно 5! = 120.
Среди них есть слова, в которых есть ААА, но нам их все равно нужно вычитать. То есть имеем 120, где есть АА, в том числе и ААА
5) количество нужных нам слов равно 240 – 120 = 120.

 Отправлено: 17.06.19 16:15. Заголовок: N Задание 10 N 117 (К. Поляков)

Где ошибка?

 Отправлено: 17.06.19 21:47. Заголовок: Ответ

Здравствуйте, tla!

Эта задача решена здесь (polyakovss Сообщение: 166).

 Отправлено: 18.06.19 17:28. Заголовок: Работа над ошибками

Как уже было сказано, задача 117 решена здесь (polyakovss Сообщение: 166).


А здесь рассмотрим предложенный участницей tla метод решения и проведем работу над ошибками.

tla пишет:

цитата:

Где ошибка?

цитата:

так как перестановка одинаковых букв не даёт нового слова, 3 одинаковые буквы уменьшают количество уникальных слов в 3 раза; оно равно 720/3 = 240

Нет. 3 одинаковые буквы уменьшают количество уникальных слов в 3! раз;

оно равно 720/3! = 720/6 = 120.

Это следует из формулы для перестановок с повторениями: (3+1+1+1)!/(3!*1!*1!*1!).

Таким образом, общее количество перестановок букв слова КАБАЛА равно 120.

цитата:

количество слов, где встречаются ААА; обозначим Y=ААА, таким образом, нужно найти количество слов из 4-х разных «букв» (К, Б, Л, Y), это количество равно 4! = 24

Это правильно.

цитата:

подсчитаем слова, в которых есть X=АА, получаем набор из 5 «букв» (А, К, Б, Л, Х), количество слов равно 5! = 120

Это так. Вопрос лишь в том, какие это слова!

Если AX или XA стоят рядом, то это даст удвоенное количество слов, где встречаются ААА,
то есть 24*2 = 48.

Остальные 120 - 48 = 72 соответствуют словам, где АА и А не стоят рядом.

Количество перестановок букв слова КАБАЛА, не содержащих слов с двумя подряд одинаковыми буквами = (общее количество перестановок) - (количество слов, где встречаются ААА,) - (количество слов, где АА и А не стоят рядом) = 120 - 24 - 72 = 24.

Ответ: 24.

цитата:

Рассуждения 3 и 4 можно упростить: 3-4) подсчитаем слова, в которых есть X=АА, получаем набор из 5 «букв» (А, К, Б, Л, Х), количество слов равно 5! = 120. Среди них есть слова, в которых есть ААА, но нам их все равно нужно вычитать. То есть имеем 120, где есть АА, в том числе и ААА 5) количество нужных нам слов равно 240 – 120 = 120.

Обратим внимание:

цитата:

Среди них есть слова, в которых есть ААА, но нам их все равно нужно вычитать.

Как уже было показано, при таком методе решения в 120 входит удвоенное количество слов, где встречаются ААА. Поэтому лишнее (24) нужно из 120 вычесть: 120 - 24 = 96.

Искомое количество равно (общее количество перестановок) - (количество слов, где встречаются ААА, и где АА и А не стоят рядом) = 120 - 96 = 24.

Ответ: 24.