Отправлено: 13.11.19 09:28. Заголовок: вопрос по решению 18-ого задания

Доброго дня! В решении задачи, Что ниже мне кажется, что в конце ошибка. Напишите, пожалуйста, если я не прав. Задача 9. Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
(y + 2x < A) ∨ (3y + 2x > 123) ∨ (3y – x > 30)
тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых положительных x и
y?
Решение. Выделим постоянную часть заданного выражения
(3y + 2x > 123) ∨ (3y – x > 30) .
Условия, определяющие особую область, получаются в результате инверсии этого выраже-
ния с добавлением ограничений на положительность значений x и y:
(3y + 2x ≤ 123) ∧ (3y – x ≤ 30) ∧ (x ≥ 1) ∧ (y ≥ 1) .
В другой форме
(y ≤ – 2x/3 + 41) ∧ (y ≤ x/3 + 10) ∧ (x ≥ 1) ∧ (y ≥ 1) .
Эта область выделена фоном на Рис. 13.
Рис. 13
0
30
40 x
y
60
40 10
3
y = x +
20
10
20
41
3
y = − 2x +
0
5
4 x
y
6
10
y = – 2x + A
2
12
Для всех точек особой области должна быть истинной изменяемая часть заданного
выражения, то есть должно выполняться условие y + 2x < A . Это позволяет сформулировать
задачу линейного программирования:
A > max(y + 2x) при ограничениях
(y ≤ – 2x/3 + 41) ∧ (y ≤ x/3 + 10) ∧ (x ≥ 1) ∧ (y ≥ 1) .
Как и в предыдущей задаче, воспользуемся графоаналитическим методом.
Условие y + 2x < A можно переписать в виде y < – 2x + A. Это означает, что все точки
особой области с целочисленными координатами должны находиться ниже прямой
y = – 2x + A. Точка касания этой прямой и особой области определяется наклонами прямых.
Поскольку угловой коэффициент «подвижной» прямой y = – 2x + A по модулю равен 2, а уг-
ловой коэффициент прямой y = – 2x/3 + 41, образующей правую границу «особой области»,
по модулю меньше, чем 2 (он равен –2/3), касание произойдет в самой правой точке «особой
области» при y = 1. Абсцисса этой точки находится подстановкой значения y = 1 в уравнение
y = – 2x/3 + 41, что даёт x = 60 (Рис. 14).
Рис. 14
Подставляя координаты точки (60, 1) в условие y + 2x < A, получаем A > 121, откуда
следует Amin = 122.
График функции здесь построен по ссылке https://yadi.sk/i/1iis10unemcELQ. Если мы берем точку 60,1, то одна не входит в заштрихованную область, что на рисунке. И тогда я считаю, что надо взять точку (59,1) - она войдет в область общую двух графиков. Подскажите, пожалуйста, где у меня ошибка?

 Отправлено: 14.11.19 00:37. Заголовок: Ответ

Здравствуйте, Eugeny1984!

Задача:

цитата:

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение (y + 2x < A) ∨ (3y + 2x > 123) ∨ (3y – x > 30) тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых положительных x и y?

Ответ: Аmin = 122.

Вы пишете:

цитата:

Условия, определяющие особую область, получаются в результате инверсии этого выражения с добавлением ограничений на положительность значений x и y: (3y + 2x ≤ 123) ∧ (3y – x ≤ 30) ∧ (x ≥ 1) ∧ (y ≥ 1).

Верно.

Функция y + 2*x в этой области имеет максимальное значение 121 при x = 60 и y = 1.
Следовательно, Amin = max (y + 2*x) + 1 = 122.

Точка (60, 1) принадлежит этой области (проверяется подстановкой).
Вы сами пишете:

цитата:

... касание произойдет в самой правой точке «особой области» при y = 1.

Посмотрите еще разбор задачи P-30 в ege10.doc:

цитата:

Р-30. Укажите наименьшее целое значение А, при котором выражение (y + 2x < A) ∨ (3y +2x > 120) ∨ (3y – x > 30) истинно для любых целых положительных значений x и y.

 Отправлено: 14.11.19 09:34. Заголовок: Спасибо, благодарю з..

Спасибо, благодарю за объяснение, просто график построил не в масштабе и точка не попала. Сейчас перестроил и проверил и все хорошо.